Penerapan Turunan

Rangkuman Materi Penerapan Turunan 

     Hai teman-teman! Kali ini aku bakal bahas mengenai Penerapan Turunan. Jadi, selamat membaca materi dari aku ya ! 

      Di dalam aplikasi penerapan turunan ini, ada seperti penentuan titik stasioner, nilai stasioner(belok,maksimal,minimum), penggambaran kurva. 

Titik Stasioner 

• Pengertian

  Titik stasioner atau kritis dari suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah titik di grafik di mana kurva pertama turun menjadi nol. Dengan kata lain, titik stasioner adalah titik di mana fungsi “berhenti” naik atau turun.

 Titik stasioner dapat dengan mudah digambarkan dalam grafik fungsi dengan variabel, karena titik-titik tersebut terletak pada titik dengan garis tangen horizontal (sejajar dengan sumbu x). Untuk fungsi dengan dua variabel, titik ini sesuai dengan titik pada diagram yang bidang tangennya sejajar dengan bidang xy.

• Kurva dan Nilai Stasioner 

Penentuan posisi dan sifat titik stasioner membantu proses penggambaran kurva fungsi yang dapat diturunkan. Penyelesaian persamaan f'(x) = 0 menghasilkan koordinat x semua titik stasioner; koordinat y adalah nilai fungsi di koordinat x tersebut. Sifat suatu titik stasioner di x dapat ditentukan dengan melihat turunan kedua f''(x):

1. Jika f ” (x) <0, titik stasioner di x adalah ekstrim maksimum Jika f ” (x)> 0, Titik stasioner di x adalah ekstrim minimum

2. Jika f ” (x) = 0, jenis titik stasioner harus ditentukan sebaliknya

Contoh Soal

    Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi f(x)=x³-6x²+9x+1

Jawab :
f '(x) = 3x² − 12x + 9
f ''(x) = 6x − 12

-lalu jadikan f'(x)=0, maka 
f '(x) = 0
⇔ 3x² − 12x + 9 = 0
⇔ x² − 4x + 3 = 0
⇔ (x − 1)(x - 3) = 0
⇔ x = 1 atau x = 3

-Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)³ − 6(1)² + 9(1) + 1 = 5

-Nilai stasioner pada x = 3
f(3) = (3)³ − 6(3)² + 9(3) + 1 = 1

-Uji turunan kedua
f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0
Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum.

f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0
Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum

Limit Bentuk Tak Tentu

Rangkuman Materi Limit Bentuk Tak Tentu

   Hai teman-teman ! Di Blog saya kali ini saya akan membahas mengenai materi Limit Bentuk Tak Tentu. 

• Terdapat 3 Jenis bentuk Limit Tak Tentu yaitu : 

1. Bentuk 0/0 atau ~/~

    Contoh :

Sehingga setelah di substitusi nilai x akan menghasilkan : 

2. Bentuk 0 × ~ atau ~ - ~

    Untuk bentuk ini, kalian harus ubah limit fungsi tersebut menjadi bentuk 1 (0/0 atau ~/~). Jika sudah, baru bisa dicari turunannya dan di substitusi nilai x. 

3. Bila bentuknya seperti dibawah ini :

    Maka, cara penyelesaiannya seperti ini :

• Penyelesaian L' Hospital

  Dalam kalkulus, Aturan L'Hôpital merupakan derivatif (turunan) untuk membantu dalam menentukan nilai limit yang melibatkan bentuk tak tentu. Penerapan (atau berulang penerapan) dalil ini akan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tertentu, sehingga nilai suatu limit mudah ditentukan.

Syarat penyelesaian L' Hospital :

    Untuk syarat berlakunya hanya pada bentuk tak tentu yaitu 0/0 ATAU ~/~. Jadi apabila saat kita mensubstitusi nilai x ke dalam limit menghasilkan 0/0 ATAU ~/~ maka berlaku L' Hospital. Sehingga kita bisa langsung menghitung turunan dari limit tersebut 

Aturan rantai dan Fungsi Implisit

Rangkuman Materi Aturan Rantai dan Fungsi Implisit

    Hallo teman-teman masih bersama saya, kali ini di blog belajar bersama saya akan membahas mengenai Aturan Rantai dan fungsi Implisit

    A. Aturan Rantai 

     Aturan Rantai adalah adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika. 

  Contoh fungsi dalam fungsi ini, misalkan kita memiliki fungsi f(g(x)). Dalam fungsi f terkandung fungsi lain berbentuk g(x). Permasalahan yang kita hadapi sekarang adalah bagaimana bentuk turunan dari fungsi f(g(x)) ini. Sehingga dengan Aturan rantai kita dapat mengerjakan permasalahan semacam ini. Adapun bentuk aturan rantai adalah sebagai berikut.

• Aturan Rantai

  Jika f(u) terturunkan di u = g(x) dan g(x) terturunkan di x maka f(o)g terturunkan di x menjadi sebagai berikut :

Atau kalian bisa juga menggunakan rumus :

    B. Fungsi Implisit

     Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Fungsi Implisit disini juga masih menggunakan rumus Aturan Rantai.

• Cara Penyelesaian :

1. Turunkan ruas kanan dan kiri terhadap x

2. Gunakan aturan rantai 

3. Tentukan nilai dy/dx

Sekian dari saya, semoga bermanfaat. Selamat Belajar !

Fungsi Diferensial atau Fungsi Turunan

Rangkuman Materi Mengenai Fungsi Diferensial atau Fungsi Turunan 

   Halo teman-teman bertemu lagi di blog ini! Kali ini saya akan membahas mengenai fungsi turunan. 

Pengertian Fungsi Turunan (Diferensial)

  Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newtoon (1642-1727), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Definisi Turunan f didefinisikan sebagai berikut

   
    Untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.

Catatan: Nilai f’ di x, yaitu f’(x), dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai gradien garis singgung grafik f di titik (x, f(x)).

Fungsi Terdiferensialkan

    Definisi Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (–∞, a) atau (–∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut.

Rumus Dasar dalam turunan fungsi
1. f(x), menjadi f'(x) = 0
2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus-rumus Turunan Fungsi 

Limit Kontinuitas

Rangkuman Materi Limit Kontinuitas

Hallo temen-temen bertemu lagi dengan saya! Kali ini saya akan memberikan rangkuman materi mengenai limit kontinuitas.

Apa itu kontinuitas pada suatu titik?

Suatu fungsi f (x, y ) dikatakan kontinu di titik (a, b) jika memenuhi syarat : 

1 f mempunyai nilai di (a, b)

2 f mempunyai limit di (a, b)

3 Nilai f di (a, b) sama dengan nilai limitnya

Contoh Soal 

Agar lebih jelas dalam memahami soal diatas, silahkan lihat video saya di youtube channel Aulia Nada Azizah 

Limit Bilangan Euler dan Limit Trigonometri

Rangkuman Materi Limit Bilangan Euler dan Limit Trigonometri

A. Limit Bilangan Euler

• Pengertian

Bilangan Euler (e) adalah bilangan irasional yang bernilai 2,718281828… (dan seterusnya). Bilangan ini dinamakan bilangan Euler sebagai penghargaan kepada ahli matematika Swiss yang menemukannya, Leonhard Euler.

• Bentuk Umum

• Penyelesaian (Cara Praktis)

B. Limit Trigonometri

• Pengertian

Limit trigonometri adalah limit yang memiliki nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri.

• Macam – macam trigonometri

Berikut ini adalah nama – nama trigonometri yang biasa kita gunakan :
1. Sinus ( sin )
2. Tangen ( tan )
3. Cosinus ( cos )
4. Cotongen ( cot )
5. Secan ( sec )
6. Cosecan ( Csc )

• Rumus kebalikan dalam trigonimetri

1. sin⁡∝ = 1/csc⁡∝
2. cos⁡∝ = 1/sec⁡∝
3. tan⁡∝ = 1/cot⁡∝
4. tan⁡∝ = sin⁡∝/cos⁡∝
5. cot⁡∝=cos⁡∝/sin⁡∝

• Bentuk-bentuk Limit Trigonometri

Jadi itulah materi rangkuman dari Limit Bilangan Euler dan Limit Trigonometri. Semoga Bermanfaat ya !

Limit Fungsi

Rangkuman Materi Mengenai Limit Fungsi 

Hallo teman-teman ! Bertemu lagi dengan saya. Kali ini saya akan membahas mengenai Rangkuman Materi Mengenai Limit Fungsi. 

Apa sih yang dimaksud dengan limit fungsi?

     Jadi, Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Limit f(x) mendekati c sama dengan L, ditulis:

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan ctetapi x≠c, f(x) mendekati L. Dengan c adalah suatu konstanta berhingga.

Lalu, Apa saja sifat-sifat limit fungsi?

      Nah selanjutnya, saya akan membahas mengenai sifat-sifat dari limit fungsi. 

Cara penyelesaian limit fungsi

1. Metode substitusi 

Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

2. Metode pemfaktoran 

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu. Maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

3. Metode mengalikan dengan faktor sekawan 

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

Pertidaksamaan dan NilaI Mutlak Bilangan

Resume Materi Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak Bilangan

Hallo teman-teman kembali lagi dengan Blog Belajar Bersama ! Kali ini Saya akan menjelaskan mengenai Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak Bilangan. 

Apa sih itu Nilai Mutlak Bilangan ?
Pada dasarnya, nilai mutlak merupakan jarak suatu bilangan ke bilangan nol pada garis bilangan real. misalkan diketahui suatu bilangan real x, maka nilai mutlak bilangan x dituliskan dengan ∣x∣, yang menyatakan jarak x ke 0. Oleh karena jarak selalu positif, maka:

$$
|x| = \Big\{ \begin{array}{ll} -x &amp; \quad x \leq 0 \\\\ x &amp; \quad x &gt; 0 \end{array}

Sebagai contoh : | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai mutlak dari suatu bilangan merupakan jarak dari bilangan tersebut ke bilangan nol dan selalu bernilai positif.

Namun, terdapat pengecualian atau kasus khusus yaitu : 

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang penting : 

(1)| x | < a Û –a < x < a

(2)| x | > a Û x<–a V x > a

Sifat (1) berlaku pula untuk (£) juga sifat (2) berlaku pula untuk (³). 

Contoh Soal
Tentukan penyelesaian soal berikut:

Jawab :

Pertidaksamaan dan Interval

Resume Materi Pertidaksamaan dan Interval

Hallo ! Bertemu lagi dengan saya, yang kali ini akan membahas mengenai Pertidaksamaan dan Interval.

Apa itu Pertidaksamaan?  

        Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang memiliki sifat urutan bilangan tertentu dan dilambangkan seperti tabel di bawah ini : 

Sifat-sifat Pertidaksamaan 

         Beberapa sifat pertidaksamaan yang sangat penting untuk menentukan penyelesaian suatu pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
1. Sifat tak negatif
2. Sifat transitif
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b dan b < c maka a < c
Jika a > b dan b > c maka a > c
3. Sifat penjumlahan
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b maka a + c < b + c
Jika a > b maka a + c > b + c
Keterangan: Sifat penjumlahan menyatakan bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
4. Sifat perkalian
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc
    Keterangan : Sifat perkalian menyatakan bahwa jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) positif yang sama, tanda ketidaksamaan tetap (tidak balik). Akan tetapi, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) negatif yang sama, tanda ketidaksamaan dibalik.

5. Sifat kebalikan(invers perkalian)
Untuk
Jika a > 0 maka > 0
Jika a < 0 maka < 0
   Keterangan : Sifat kebalikan menyatakan bahwa tanda dari suatu bilangan dan kebalikannya adalah sama. Jika suatu bilangan adalah negatif, kebalikan bilangan ini juga negatif.

Apa itu Interval ?

        Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Untuk menggambarkan batas-batas interval pada ujung garis bilangan, biasanya digunakan tanda o dan • .
    Keterangan :1. Lingkaran penuh : Berarti bilangan pada tanda ini termasuk kedalam interval.
                          2. Lingkaran kosong : Berarti bilangan pada tanda itu tidak termasuk kedalam interval.
        Berikut ini adalah bentuk-bentuk dari suatu interval yang dinyatakan dalam garis bilangan dan dalam bentuk himpunan : 

Contoh Soal Menyelesaikan Pertidaksamaan 

Ubah menjadi Notasi Interval (x-2)(x+3)<0

(x-2)(x+3)<0
Jika faktor individu di ruas kiri persamaan sama dengan 0, seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan 0  menjadi, 
       x−2=0

       x+3= 0 lalu, 

Atur faktor pertama sama dengan 0
       x−2=0

Tambahkan 2 ke kedua ruas persamaan.
       x = 2

Atur faktor berikutnya sama dengan 0 dan selesaikan.
      x+3=0
Kurangkan 3 dari kedua ruas persamaan tersebut.
      x = −3

Gabungkan penyelesaiannya.
      x=2,−3

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.
     x < −3x <-3
    −3 < x < 2-3 < x <2
    x > 2x >2

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asli untuk menentukan apakah interval tersebut memenuhi pertidaksamaan atau tidak.

• Uji nilai pada interval x < −3x < -3 

    Pilih nilai pada interval x<−3x<-3 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli bernilai benar.
    x = −6x = -6
    Gantikan x dengan −6 pada pertidaksamaan asli.
    ((−6)−2)((−6)+3) < ((-6)-2)((-6)+3)<0
    Ruas kiri 24 tidak kurang dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan salah.

• Uji nilai pada interval −3 < x < 2-3 < x < 2

    Pilih nilai pada interval −3 < x < 2-3 < x < 2 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli benilai benar.
    x=0
   Gantikan x dengan 0 pada pertidaksamaan asli.
   ((0)−2)((0)+3) < ((0)-2)((0)+3)<0
   Ruas kiri −6 lebih kecil dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan benar.

• Uji nilai pada interval x>2x>2 untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

    Pilih nilai pada interval x>2x>2 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli bernilai benar.
    x=4
    Gantikan x dengan 4 pada pertidaksamaan asli.
    ((4)−2)((4)+3) < ((4)-2)((4)+3)<0
    Ruas kiri 14 tidak kurang dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan salah.

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asli.
x < −3x < -3 Salah
−3 < x < 2-3 < x < 2 Benar
x > 2x > 2 Salah

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval yang benar.
−3<x<2-3<x<2

Mengubah pertidaksamaan menjadi notasi interval.
(−3,2)

Sehingga Garis Bilangan yang dihasilkan seperti berikut : 

Sistem Bilangan

Materi Sistem Bilangan Kalkulus 1 (Dasar)

Kali ini saya akan membahas mengenai Sistem Bilangan Real pada Kalkulus.
Apa itu Sistem Bilangan Real ?
            Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan dan sifat– sifatnya, berikut adalah skema sistem bilangan : 

Bilangan Real sendiri adalah bilangan yang digunakan dalam ilmu pengetahuan maupun kehidupan sehari-hari dan merupakan bilangan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan real dinyatakan dengan notasi R.
            Penyusunan sistem bilangan real, mendasari sistem bilangan dengan sifat–sifat sebagai berikut untuk x, y, dan z bilangan real
1. Sifat komutatif. x + y = y + x dan xy = yx
2. Sifat asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z
3. Sifat distributif. x(y + z) = xy + xz
4. Elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan, 0 dan 1, yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x.
5. Balikan (invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan (negatif), –x, yang memenuhi x + –x = 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (kebalikan), x–1 , yang memenuhi x . x–1 = 1.
Interval Bilangan Real 
            Beberapa cara menyatakan interval bilangan real 1. Menggunakan notasi himpunan 2. Menggunakan garis 3. Menggunakan pasangan suprimun (batas max) dan infrimum (batas min)

Sifat-sifat urutan bilangan real
            Bilangan–bilangan real tak nol dapat dipisahkan menjadi dua himpunan terpisah, yaitu Bilangan–bilangan real positif dan bilangan–bilangan real negatif sehingga mempunyai sifat–sifat urutan yaitu :
1. Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti salah satu diantara yang berikuti ini berlaku x<y  atau x=y atau x>y
2. Ketransitifan : x<y dan y<z maka x<z
3. Penambahan : x<y dan x+z < y+z
4. Perkalian : Bilamana z positif, x<y maka xz <yz. Bilamana z negatif, x<y maka xz>yz
Sifat Kealjabaran Bilangan Real  
1. Hukum Komutatif : x+y = y+x dan xy =yx
2. Hukum Asosiatif : x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
3. Hukum Distributif : x(y+z) = xy+xz
4. Elemen-elemen Identitas : Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi x+0=x dan x.1=x untuk setiap s bilangan real 
5. Balikan (Invers) : Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan (disebut juga negatif), -x. yang memenuhi x+(-x)=0. Jiga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juge kebalikan), x-1. yang memenuhi x.x-1=1