Pertidaksamaan dan Interval

Resume Materi Pertidaksamaan dan Interval

Hallo ! Bertemu lagi dengan saya, yang kali ini akan membahas mengenai Pertidaksamaan dan Interval.

Apa itu Pertidaksamaan?  

        Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang memiliki sifat urutan bilangan tertentu dan dilambangkan seperti tabel di bawah ini : 

Sifat-sifat Pertidaksamaan 

         Beberapa sifat pertidaksamaan yang sangat penting untuk menentukan penyelesaian suatu pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
1. Sifat tak negatif
2. Sifat transitif
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b dan b < c maka a < c
Jika a > b dan b > c maka a > c
3. Sifat penjumlahan
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b maka a + c < b + c
Jika a > b maka a + c > b + c
Keterangan: Sifat penjumlahan menyatakan bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
4. Sifat perkalian
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc
    Keterangan : Sifat perkalian menyatakan bahwa jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) positif yang sama, tanda ketidaksamaan tetap (tidak balik). Akan tetapi, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) negatif yang sama, tanda ketidaksamaan dibalik.

5. Sifat kebalikan(invers perkalian)
Untuk
Jika a > 0 maka > 0
Jika a < 0 maka < 0
   Keterangan : Sifat kebalikan menyatakan bahwa tanda dari suatu bilangan dan kebalikannya adalah sama. Jika suatu bilangan adalah negatif, kebalikan bilangan ini juga negatif.

Apa itu Interval ?

        Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Untuk menggambarkan batas-batas interval pada ujung garis bilangan, biasanya digunakan tanda o dan • .
    Keterangan :1. Lingkaran penuh : Berarti bilangan pada tanda ini termasuk kedalam interval.
                          2. Lingkaran kosong : Berarti bilangan pada tanda itu tidak termasuk kedalam interval.
        Berikut ini adalah bentuk-bentuk dari suatu interval yang dinyatakan dalam garis bilangan dan dalam bentuk himpunan : 

Contoh Soal Menyelesaikan Pertidaksamaan 

Ubah menjadi Notasi Interval (x-2)(x+3)<0

(x-2)(x+3)<0
Jika faktor individu di ruas kiri persamaan sama dengan 0, seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan 0  menjadi, 
       x−2=0

       x+3= 0 lalu, 

Atur faktor pertama sama dengan 0
       x−2=0

Tambahkan 2 ke kedua ruas persamaan.
       x = 2

Atur faktor berikutnya sama dengan 0 dan selesaikan.
      x+3=0
Kurangkan 3 dari kedua ruas persamaan tersebut.
      x = −3

Gabungkan penyelesaiannya.
      x=2,−3

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.
     x < −3x <-3
    −3 < x < 2-3 < x <2
    x > 2x >2

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asli untuk menentukan apakah interval tersebut memenuhi pertidaksamaan atau tidak.

• Uji nilai pada interval x < −3x < -3 

    Pilih nilai pada interval x<−3x<-3 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli bernilai benar.
    x = −6x = -6
    Gantikan x dengan −6 pada pertidaksamaan asli.
    ((−6)−2)((−6)+3) < ((-6)-2)((-6)+3)<0
    Ruas kiri 24 tidak kurang dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan salah.

• Uji nilai pada interval −3 < x < 2-3 < x < 2

    Pilih nilai pada interval −3 < x < 2-3 < x < 2 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli benilai benar.
    x=0
   Gantikan x dengan 0 pada pertidaksamaan asli.
   ((0)−2)((0)+3) < ((0)-2)((0)+3)<0
   Ruas kiri −6 lebih kecil dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan benar.

• Uji nilai pada interval x>2x>2 untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

    Pilih nilai pada interval x>2x>2 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli bernilai benar.
    x=4
    Gantikan x dengan 4 pada pertidaksamaan asli.
    ((4)−2)((4)+3) < ((4)-2)((4)+3)<0
    Ruas kiri 14 tidak kurang dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan salah.

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asli.
x < −3x < -3 Salah
−3 < x < 2-3 < x < 2 Benar
x > 2x > 2 Salah

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval yang benar.
−3<x<2-3<x<2

Mengubah pertidaksamaan menjadi notasi interval.
(−3,2)

Sehingga Garis Bilangan yang dihasilkan seperti berikut :