Pertidaksamaan dan NilaI Mutlak Bilangan

Resume Materi Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak Bilangan

Hallo teman-teman kembali lagi dengan Blog Belajar Bersama ! Kali ini Saya akan menjelaskan mengenai Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak Bilangan. 

Apa sih itu Nilai Mutlak Bilangan ?
Pada dasarnya, nilai mutlak merupakan jarak suatu bilangan ke bilangan nol pada garis bilangan real. misalkan diketahui suatu bilangan real x, maka nilai mutlak bilangan x dituliskan dengan ∣x∣, yang menyatakan jarak x ke 0. Oleh karena jarak selalu positif, maka:

$$
|x| = \Big\{ \begin{array}{ll} -x & \quad x \leq 0 \\\\ x & \quad x > 0 \end{array}

Sebagai contoh : | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai mutlak dari suatu bilangan merupakan jarak dari bilangan tersebut ke bilangan nol dan selalu bernilai positif.

Namun, terdapat pengecualian atau kasus khusus yaitu : 

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang penting : 

(1)| x | < a Û –a < x < a

(2)| x | > a Û x<–a V x > a

Sifat (1) berlaku pula untuk (£) juga sifat (2) berlaku pula untuk (³). 

Contoh Soal
Tentukan penyelesaian soal berikut:

Jawab :

Pertidaksamaan dan Interval

Resume Materi Pertidaksamaan dan Interval

Hallo ! Bertemu lagi dengan saya, yang kali ini akan membahas mengenai Pertidaksamaan dan Interval.

Apa itu Pertidaksamaan?  

        Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang memiliki sifat urutan bilangan tertentu dan dilambangkan seperti tabel di bawah ini : 

Sifat-sifat Pertidaksamaan 

         Beberapa sifat pertidaksamaan yang sangat penting untuk menentukan penyelesaian suatu pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
1. Sifat tak negatif
2. Sifat transitif
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b dan b < c maka a < c
Jika a > b dan b > c maka a > c
3. Sifat penjumlahan
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b maka a + c < b + c
Jika a > b maka a + c > b + c
Keterangan: Sifat penjumlahan menyatakan bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
4. Sifat perkalian
Untuk a, b, c bilangan real :
Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc
    Keterangan : Sifat perkalian menyatakan bahwa jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) positif yang sama, tanda ketidaksamaan tetap (tidak balik). Akan tetapi, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) negatif yang sama, tanda ketidaksamaan dibalik.

5. Sifat kebalikan(invers perkalian)
Untuk
Jika a > 0 maka > 0
Jika a < 0 maka < 0
   Keterangan : Sifat kebalikan menyatakan bahwa tanda dari suatu bilangan dan kebalikannya adalah sama. Jika suatu bilangan adalah negatif, kebalikan bilangan ini juga negatif.

Apa itu Interval ?

        Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Untuk menggambarkan batas-batas interval pada ujung garis bilangan, biasanya digunakan tanda o dan • .
    Keterangan :1. Lingkaran penuh : Berarti bilangan pada tanda ini termasuk kedalam interval.
                          2. Lingkaran kosong : Berarti bilangan pada tanda itu tidak termasuk kedalam interval.
        Berikut ini adalah bentuk-bentuk dari suatu interval yang dinyatakan dalam garis bilangan dan dalam bentuk himpunan : 

Contoh Soal Menyelesaikan Pertidaksamaan 

Ubah menjadi Notasi Interval (x-2)(x+3)<0

(x-2)(x+3)<0
Jika faktor individu di ruas kiri persamaan sama dengan 0, seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan 0  menjadi, 
       x−2=0

       x+3= 0 lalu, 

Atur faktor pertama sama dengan 0
       x−2=0

Tambahkan 2 ke kedua ruas persamaan.
       x = 2

Atur faktor berikutnya sama dengan 0 dan selesaikan.
      x+3=0
Kurangkan 3 dari kedua ruas persamaan tersebut.
      x = −3

Gabungkan penyelesaiannya.
      x=2,−3

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.
     x < −3x <-3
    −3 < x < 2-3 < x <2
    x > 2x >2

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asli untuk menentukan apakah interval tersebut memenuhi pertidaksamaan atau tidak.

• Uji nilai pada interval x < −3x < -3 

    Pilih nilai pada interval x<−3x<-3 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli bernilai benar.
    x = −6x = -6
    Gantikan x dengan −6 pada pertidaksamaan asli.
    ((−6)−2)((−6)+3) < ((-6)-2)((-6)+3)<0
    Ruas kiri 24 tidak kurang dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan salah.

• Uji nilai pada interval −3 < x < 2-3 < x < 2

    Pilih nilai pada interval −3 < x < 2-3 < x < 2 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli benilai benar.
    x=0
   Gantikan x dengan 0 pada pertidaksamaan asli.
   ((0)−2)((0)+3) < ((0)-2)((0)+3)<0
   Ruas kiri −6 lebih kecil dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan benar.

• Uji nilai pada interval x>2x>2 untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

    Pilih nilai pada interval x>2x>2 dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asli bernilai benar.
    x=4
    Gantikan x dengan 4 pada pertidaksamaan asli.
    ((4)−2)((4)+3) < ((4)-2)((4)+3)<0
    Ruas kiri 14 tidak kurang dari ruas kanan 0, artinya pernyataan yang diberikan salah.

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asli.
x < −3x < -3 Salah
−3 < x < 2-3 < x < 2 Benar
x > 2x > 2 Salah

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval yang benar.
−3<x<2-3<x<2

Mengubah pertidaksamaan menjadi notasi interval.
(−3,2)

Sehingga Garis Bilangan yang dihasilkan seperti berikut : 

Sistem Bilangan

Materi Sistem Bilangan Kalkulus 1 (Dasar)

Kali ini saya akan membahas mengenai Sistem Bilangan Real pada Kalkulus.
Apa itu Sistem Bilangan Real ?
            Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan dan sifat– sifatnya, berikut adalah skema sistem bilangan : 

Bilangan Real sendiri adalah bilangan yang digunakan dalam ilmu pengetahuan maupun kehidupan sehari-hari dan merupakan bilangan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan real dinyatakan dengan notasi R.
            Penyusunan sistem bilangan real, mendasari sistem bilangan dengan sifat–sifat sebagai berikut untuk x, y, dan z bilangan real
1. Sifat komutatif. x + y = y + x dan xy = yx
2. Sifat asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z
3. Sifat distributif. x(y + z) = xy + xz
4. Elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan, 0 dan 1, yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x.
5. Balikan (invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan (negatif), –x, yang memenuhi x + –x = 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (kebalikan), x–1 , yang memenuhi x . x–1 = 1.
Interval Bilangan Real 
            Beberapa cara menyatakan interval bilangan real 1. Menggunakan notasi himpunan 2. Menggunakan garis 3. Menggunakan pasangan suprimun (batas max) dan infrimum (batas min)

Sifat-sifat urutan bilangan real
            Bilangan–bilangan real tak nol dapat dipisahkan menjadi dua himpunan terpisah, yaitu Bilangan–bilangan real positif dan bilangan–bilangan real negatif sehingga mempunyai sifat–sifat urutan yaitu :
1. Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti salah satu diantara yang berikuti ini berlaku x<y  atau x=y atau x>y
2. Ketransitifan : x<y dan y<z maka x<z
3. Penambahan : x<y dan x+z < y+z
4. Perkalian : Bilamana z positif, x<y maka xz <yz. Bilamana z negatif, x<y maka xz>yz
Sifat Kealjabaran Bilangan Real  
1. Hukum Komutatif : x+y = y+x dan xy =yx
2. Hukum Asosiatif : x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
3. Hukum Distributif : x(y+z) = xy+xz
4. Elemen-elemen Identitas : Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi x+0=x dan x.1=x untuk setiap s bilangan real 
5. Balikan (Invers) : Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan (disebut juga negatif), -x. yang memenuhi x+(-x)=0. Jiga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juge kebalikan), x-1. yang memenuhi x.x-1=1